SUBIECTE DE EXAMEN

1. Vectori si valori proprii. Defintii, subspatii proprii, polinom caracteristic, multiplicitati si relatii intre ele, criteriul de diagonalizare.

2. Spatii vectoriale euclidiene. Definitie, proprietati elementare. Teorema Gramm-Schmidt.

3. Endomorfisme simetrice; diagonalizarea endomorfismelor simetrice.

4. Spatii afine: definitie, combinatii afine, repere -cartezian, afin-, subspatii afine.

5. Teorema dimensiunii pentru subspatii afine.

6. Caracterizarea subspatiilor afine in coordonate (carteziene).

7. Hipercuadrice afine: definitie, forma canonica, forma normala, aducerea la forma canonica/normala.

8. Spatii afine euclidiene: definitie, proprietati elementare, teorema de caracterizare a izometriilor unui spatiu afin euclidian.

9. Aducerea la forma canonica a hipercuadricelor in spatii afine euclidiene prin izometrii.

10. Simetrii ortogonale fata de hiperplane: simetriile ortogonale sunt sistem de generatori pentru grupul izometriilor.

11. Plane si spatii proiective: definitie, proprietati elementare. Planul Fano.

12. Completatul proiectiv al unui plan sau spatiu afin.

13. Proiectivizatul unui spatiu vectorial.

14. Izomorfisme de spatii proiective; completatul proiectiv al unui plan/spatiu afin este izomorf cu proiectivizatul unui spatiu vectorial.

15. Varietati liniare, hiperplane. Dimensiunea unui plan/spatiu proiectiv.

16. Propozitia Desargues. Demonstarea faptului ca intr-un spatiu proiectiv propozitia Desargues e satisfacuta. Exemplu de plan proiectiv in care propozitia Desargues e falsa.

17. Constructia corpului asociat unui spatiu proiectiv (schita).

18. Automorfisme proiective: proiectivitati, automorfisme induse de izmorfisme ale corpului subiacent. Descompunerea unui automorfism.

19. Multimi inchise algebrice; hipercuadrice proiective, forme canonice.