ALGORITMI SI COMBINATORICA IN ALGEBRA SI GEOMETRIE

PROGRAM PN II-IDEI, COD ID_1903, contract nr. 542/13.01.2009

Descriere succinta a proiectului de cercetare

Algebrele standard graduate reprezinta un obiect de studiu central in domenii importante ale matematicii, cum ar fi algebra comutativa, combinatorica si geometria algebrica proiectiva. Prezentul proiect de cercetare isi propune studierea idealelor monomiale, precum si a modulelor multigraduate finit generate peste inele de polinoame prin mijloace provenind din directii diferite foarte importante in cercetarea matematica actuala, precum: aspecte combinatoriale si computationale ale algebrei comutative, metode de factorizare combinatoric algebrice.

In cele ce urmeaza vom descrie, in contextul actual al cercetarii mondiale, problemele pe care ne propunem sa le abordam. Idealele monomiale sunt ideale omogene in raport cu N^n graduarea, reprezentand un caz particular de ideale polinomiale omogene. Studiul idealelor polinomiale omogene se reduce prin deformare Groebner la cazul idealelor monomiale, care pastreaza o parte semnificativa a invariantilor numerici ai idealelor initiale, cum ar fi regularitatea, seria Hilbert, dimensiunea proiectiva.

Trecerea la ideale monomiale permite studiul acestora prin mijloace specifice combinatoricii precum si a algebrei computationale. Un caz aparte de ideale monomiale este cel al idealelor Stanley-Reisner, adica idealele monomiale libere de patrate. Studiul acestor ideale este esential, deoarece prin polarizare orice ideal monomial poate fi redus la un ideal monomial liber de patrate, pastrand invarianti algebrici precum numerele Betti, inaltime, dimensiune proiectiva si regularitate. Avantajul obtinut cu ajutorul polarizarii este ca pentru studiul idealelor monomiale libere de patrate pot fi utilizate si metode provenind din geometria convexa, topologia algebrica, combinatorica matroizilor si a complexelor simpliciale.

Toate aceste metode computationale si combinatoriale au importante aplicatii in Geometria Algebrica. Ele dau metode efective de calcul al unor invarianti, cum ar fi: polinomul Hilbert, gradul sau dimensiunea unei varietati algebrice proiective. De fapt, regularitatea Mumford - Castelnuovo provine din Geometria Algebrica, dar metodele geometrice nu au fost suficiente pentru a raspunde acestei probleme. Folosind algoritmi de calcul cu baze Groebner, se pot aborda de asemenea probleme delicate de clasificare a varietatilor algebrice scufundate, cum ar fi, de exemplu, clasificarea suprafetelor netede din P^4.

Un subiect de mare interes in cercetarea matematica actuala il constituie o conjectura formulata de Richard Stanley. Ea a fost lansata intr-un articol faimos Linear Diophantine equations and local cohomology aparut in Inventiones Mathematicae. Timp de 23 de ani ea a fost validata doar in cateva cazuri izolate. Aceasta conjectura afirma ca orice modul multigraduat finit generat peste inelul de polinoame in mai multe variabile standard graduat admite o descompunere Stanley al carei Stanley depth (sdepth) este marginit inferior de depth-ul modulului.

Conjectura este larg deschisa. Ea a fost verificata pentru inele de polinoame cu cel mult 5 variabile si in alte cateva cazuri. Legatura dintre depth (un invariant omologic) si sdepth (un invariant combinatorial) este oarecum neclara. In lipsa unei strategii globale, metodele folosite au depins foarte mult de particularitatile cazurilor tratate. Ne propunem sa investigam noi metode de abordare a conjecturii care ne vor permite sa gasim mai multe cazuri in care aceasta e valida.

Sus

Director de proiect

Prof. Dr. Dorin Popescu, Facultatea de Matematica si Informatica a Universitatii din Bucuresti (FMI-UB) .

Echipa de cercetare a grantului

  • Prof. Dr. Dorin Popescu, FMI-UB : CV [pdf]
  • Conf. Dr. Cristian Voica, FMI-UB: CV [pdf]
  • Lect. Dr. Mihai Iosif, FMI-UB: CV [pdf]
  • Lect. Dr. Marius Vladoiu, FMI-UB: CV [pdf]
  • Asist. Dr. Dumitru Stamate, FMI-UB: CV [pdf]
  • Asist. cerc. Drd. Mihai Epure, IMAR, FMI-UB: CV [pdf]
      • Sus

      Bugetul grantului

      Rapoarte

      2009 Etapa intermediara: septembrie 2009
      2009 Etapa finala: decembrie 2009
      2010 Etapa unica: decembrie 2010
      2011 Etapa unica: decembrie 2011
      Sus

      Rezultate obtinute

      1. 2009:
      2. 2010:
        • Jurgen Herzog, Dorin Popescu, Marius Vladoiu - Stanley depth and size of a monomial ideal, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 140, 2012, 493-504. arXiv:1011.6462v1 [math.AC]
        • Dorin Popescu - Bounds on Stanley depth , Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, 2011, nr. 2, pag187-194.
        • Mircea Becheanu, Marius Vladoiu - Irreducibility criteria via Jordan matrices, Preprint 2010. Trimisa la Acta Arithmetica.
        • Florence Mihaela Singer, Cristian Voica - In Search of Structures: How Does the Mind Explore Infinity?, Mind, Brain, and Education, Volume 4, Number 2, 81-93.
      3. 2011:
        • Dorin Popescu - Graph and depth of a monomial squarefree ideal, arXiv:1104.5596v2 [math.AC]. Acceptata la Proceedings of the American Mathematical Society.
        • Dorin Popescu - Stanley Conjecture on intersections of four monomial prime ideals , arXiv:1009.5646v3 [math.AC]. Trimisa la Communications in Algebra.
        • Dorin Popescu - Depth and minimal number of generators of square free monomial ideals, arXiv:1107.2621v3 [math.AC].
        • C. Voica, I. Pelczer, M. Singer - In-service and pre-service teacher's strategies of task adaptation. Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematical Education, vol. 3, 369-376, ISSN 0771 -100X. (ISI conference)
        • Marius Vladoiu, Cristian Voica, Dumitru Stamate -Metode computationale in algebra si geometrie, curs, in pregatire, va apare la Editura Universitatii din Bucuresti.
        • Dorin Popescu - Arcs Spaces and Artin Approximation, note de curs la Algebraic versus Analytic Geometry, Nov. 19 - Dec. 13, 2011, ESI - Viena, Austria.
        • David Eisenbud, Daniel Erman, Gregory G. Smith, and Dumitru Stamate, TensorComplexes, a Macaulay2 package for constructing free complexes via multilinear algebra, disponibil la svn://svn.macaulay2.com/Macaulay2/workshops/IMA-2011/TensorComplexes/TensorComplexes.m2
      Sus

      Prezentari conferinte/Diseminarea rezultatelor

       Data  Titlul prezentarii - autor
       19.07.2009   The problem solving process between static and dynamic - Cristian Voica, 33rd Conference of the International Group for the Psichology of Mathematics Education (PME), Salonic, Grecia
       20.07.2009   When the infinite sets uncover structures: An analysis of students' reasoning on infinity - Cristian Voica, 33rd Conference of the International Group for the Psichology of Mathematics Education (PME), Salonic, Grecia
       15.10.2009  Geometrie tropicala-Aplicatii in geometria enumerativa- Cristian Voica, Seminarul de Geometrie Algebrica, IMAR
       17.11.2009  Conjectura Stanley- Dorin Popescu, Seminarul de Algebra, FMI-IMAR
       24.11.2009  Conjectura Stanley in codimensiune mica - Dorin Popescu, Seminarul de Algebra, FMI-IMAR
       8.12.2009  Progrese in Conjectura Stanley - Dorin Popescu, Seminarul de Algebra, FMI-IMAR
       17.04.2010  Bounds of Stanley depth- Dorin Popescu, Conference and Humboldt Kolleg on Fundamental Structures of Algebra, Constanta
       20.09.2010  Polyhedra and their faces - Marius Vladoiu, SNA- Combinatorics in Commutative Algebra, IMAR
       21.09.2010  Finite generation of cones - Marius Vladoiu, SNA- Combinatorics in Commutative Algebra, IMAR
       22.09.2010  Affine monoids and their Hilbert bases -Marius Vladoiu, SNA- Combinatorics in Commutative Algebra, IMAR
       14.10.2010  Este experienta didactica suficienta in procesul de propunere a problemelor? - Cristian Voica, Consuela Voica, Conferinta de Matematica Aplicata si Industriala CAIM, Iasi
       29.06.2011  Recent results on Stanley's conjecture - Dorin Popescu, 7th Congress of Romanian Mathematicians, Brasov
       29.06.2011  Pre-service teacher training: new understandings of the teaching profession - Cristian Voica, 7th Congress of Romanian Mathematicians, Brasov
       10.07.2011  In-service and pre-service teachers' strategies of task adaptation - Cristian Voica, Conferinta PME 35, Ankara, Turcia.
       11.07.2011  Stanley depth and size of a monomial ideal - Marius Vladoiu, MONomial Ideals, Computations and Applications,CIEM Castro Urdiales (Cantabria, Spania)
       19.09.2011  Affine monoids and Hilbert bases I - Marius Vladoiu, SNA- Computer Algebra and Combinatorics, IMAR
       20.09.2011  Affine monoids and Hilbert bases II - Marius Vladoiu, SNA- Computer Algebra and Combinatorics, IMAR
       22.09.2011  Computing convex hulls and triangulations - Marius Vladoiu, SNA- Computer Algebra and Combinatorics, IMAR
       23.09.2011  Depth, graphs and minimal number of generators of a square free monomial ideal - Dorin Popescu, SNA- Computer Algebra and Combinatorics, IMAR
       20.10.2011  The Koszul property for numerical semigroups - Dumitru Stamate, SNA- Computer Algebra and Combinatorics, IMAR
       19-26.11.2011  Arcs Spaces and Artin Approximation - Dorin Popescu, ciclu de 6 prezentari la Algebraic versus Analytic Geometry, Noi. 19 - Dec. 13, 2011, ESI - Vienna, Austria
      Sus
      Facultatea de Matematica si Informatica, Universitatea din Bucuresti
      Centrul de cercetare in geometrie, topologie, algebra