Descriere succintā a varietāţilor local conforme Kähler

Varietāţile local conforme Kähler sunt acele varietāţi complexe care au proprietatea cā pe acoperirea lor universalā existā o metricā Kähler pe care transformārile din grupul fundamental acţioneazā prin omotetii. O altā definiţie (echivalentā) este: o varietate hermitianā X este local conformā Kähler dacā 2-forma alternatā asociatā metricii,

Ω(X, Y)=g(X, JY)

satisface o relaţie de tipul dΩ=θ ∧ Ω
unde θ este o 1-formā inchisā (numitā forma Lee).

Varietāţile local conforme Kähler au fost studiate intens în ultimii treizeci de ani. În prezent, dihotomia dintre varietāţile Kähler şi respectiv local conforme Kähler nu este încā inteleasā pe deplin. De exemplu, nu se cunosc decât unele restricţii asupra grupului fundamental, dar studiul acestui invariant al varietāţilor local conforme Kähler este încā la început. În particular, nu se cunoaşte încā un rāspuns clar la întrebarea dacā aceste varietāţi sunt formale.

Exemplele de varietāţi local conforme Kähler sunt numeroase. Lista acestor varietāţi conţine deja aproape toate suprafeţele non-Kähler, cu douā excepţii: o clasā de suprafeţe Inoue si eventualele suprafeţe din clasa VII Kodaira care nu au shell-uri sferice globale (si despre care se conjectureazā cā nici nu existā). In dimensiuni mai mari, existā deja douā clase importante de varietāţi local conforme Kähler: varietāţile Vaisman (şi deformārile mici ale lor) şi varietāţile Oeljeklaus-Toma.

Varietāţile Vaisman constituie probabil una dintre cele mai importante clase de varietāţi local conforme Kähler. Ele au fost introduse şi studiate (într-o serie lungā de articole) de cātre I. Vaisman in anii '80. În dimensiune 2, ele au fost deja complet clasificate de cātre F. Belgun, iar în dimensiune superioarā structura lor a fost clarificatā de cātre L. Ornea si M. Verbitsky; aceste varietāţi sunt fibrāri cu toruri peste varietāţi Sasaki. O clasā specialā de varietāţi Vaisman sunt varietāţile local hiperKähler (LCHK); se ştie cā studiul lor este strâns legat de studiul varietātilor HKT, un domeniu intens studiat în ultimul timp. Aceasta reprezintā o direcţie foarte interesantā de investigaţie ulterioarā.

Varietāţi Oeljeklaus-Toma. Aceste varietāţi non-Kähler, introduse de K. Oeljeklaus şi M. Toma, sunt asociate corpurilor de numere şi pot fi vāzute ca generalizāri la dimensiune arbitrarā a suprafeţelor Inoue SM. De curând s-a observat (Ornea-Verbitsky) cā aceste varietāţi au, ca şi varietātile Vaisman, o foliaţie 2-dimensionalā pozitivā în particular, utilizând aceastā foliaţie am putut demonstra cā aceste varietāti nu au subspaţii analitice închise proprii.

Varietāţi local conforme Kähler cu potenţial. Acoperirea universalā a unei varietāţi Vaisman are o metricā Kähler cu potenţial automorf. Pe de altā parte, existā exemple de varietāţi non-Vaisman care au la rândul lor aceastā proprietate. Într-o serie de articole în colaborare cu M. Verbitsky a fost clarificatā structura acestor varietāţi. În particular, se ştie acum cā aceste varietāţi sunt deformāri ale varietāţilor Vaisman, şi ca atare topologia lor este complet determinatā. Pe de altā parte, varietāţile LCK cu potenţial admit o caracterizare în termeni de acţiuni olomorfe şi conforme a cercului unitate. În plus, se poate demonstra pentru aceste varietāţi cā admit o scufundare olomorfā într-o varietate Hopf, ceea ce constituie un analog al teoremei de scufundare Kodaira.

Obiectivele şi planul de lucru al grantului

Director de proiect:

Prof. Dr. Liviu Ornea, Facultatea de Matematicā şi Informaticā a Universitāţii din Bucuresti.

Bugetul grantului

Rapoarte

2012:- Etapā unicā
- Deviz postcalcul
- Raport stiintific

2013:- Etapā unicā
- Deviz postcalcul
- Raport stiintific

2014:- Etapā unicā
- Deviz postcalcul
- Raport stiintific

2015:- Etapā unicā
- Deviz postcalcul
- Raport stiintific

2016:- Etapā unicā
- Deviz postcalcul
- Raport stiintific

Cercetare sprijinitā financiar de acest grant

Articole publicate sau în curs de publicare în reviste cotate ISI

1. L. Ornea, M. Verbitsky, V. Vuletescu: Blow-ups of Locally Conformally Kähler Manifolds, International Mathematics Research Notices, 12 (2013), 2809-2821.

2. G. E. Vilcu: Ruled CR-submanifolds of locally conformal Kahler manifolds, Journal of Geometry and Physics, 62 (6) (2012), 1366-1372.

3. M Visinescu, G. Vilcu: Hidden symmetries of Euclideanised Kerr-NUT-(A)dS metrics in certain scaling limits, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA) , 8 (2012), 058

4. C. Gherghe: Harmonic maps and stability on locally conformal Kähler manifolds, Journal of Geometry and Physics 70 (2013), 48-53

5. L. Ornea, M. Parton, V. Vuletescu: Holomorphic submersions of locally conformally Kähler manifolds, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 193 (5), (2104),1345-1351

6. G. E. Vilcu: Mixed paraquaternionic 3-submersions, Indagationes Mathematicae, 24(2) (2013), 474-488

7. G. E. Vilcu: On Chen invariants and inequalities in quaternionic geometry , Journal of Inequalities and Applications 2013, 2013:66

8. G. E. Vilcu: Canonical foliations on paraquaternionic Cauchy-Riemann submanifolds, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 399(2) (2013), 551-558.

9. L. Ornea, M. Parton, P. Piccinni, V. Vuletescu: Spin(9) geometry of the octonionic Hopf fibration, Transformation Groups, 18, No. 3, 845-864 (2013)

10. A.M. Ionescu, V. Slesar, M. Visinescu, G.E. Vilcu, Transversal Killing and twistor spinors associated to the basic Dirac operators, Reviews in Mathematical Physics, vol. 25, Issue 08, September 2013, 21 pg.

11. P. Gauduchon, A. Moroianu, L. Ornea, Compact homogeneous LCK manifolds are Vaisman, Math. Annalen, 361(3) (2015), 1043-1048

12. V. Vuletescu, LCK metrics on Oeljeklaus-Toma manifolds versus Kronecker's theorem, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum., Nouv. Ser Tome 57(105), No. 2, 225-231, (2014).

13. B.Y. Chen, G.E Vilcu, Geometric classifications of homogeneous production functions, Applied Mathematics and Computation, Volume 225, December 2013, 345-351.

14. V. Slesar, M. Visinescu, G.E. Vilcu Special Killing forms on toric Sasaki-Einstein manifolds Physica Scripta, Volume 89 (2014), Number 12, 125205 (7 pp).

15. L. Ornea, M. Verbitsky, Locally conformally Kahler metrics obtained from pseudoconvex shells, Proc. Amer. Math. Soc. 144 (2016), 325-335.

16. V. Slesar, M. Visinescu, G.E. Vilcu, Toric data, Killing forms and complete integrability of geodesics in Sasaki-Einstein spaces $Y^{p,q}$, Annals of Physics 361 (2015), 548-562.

17. V. Slesar, M. Visinescu, G.E. Vilcu, Hidden symmetries on toric Sasaki-Einstein spaces, EPL (Europhysics Letters) 110(3) (2015), 31001 (6 pp).

18. G.E. Vilcu, On generic submanifolds of manifolds endowed with metric mixed 3-structures, Communications in Contemporary Mathematics (2015) 1550081 (21 pages), DOI: 10.1142/S0219199715500819.

19. L. Ornea, V. Slesar: Basic Morse-Novikov cohomology for foliations, Mathematische Zeitschrift 284 (2016), no. 1-2, 469-489.

20. L. Ornea, M. Verbitsky: LCK rank of locally conformally Kaehler manifolds with potential, J. Geom. Physics. 107 (2016), 92-98.

21. Jae Won Lee, Chul Woo Lee, G.E. Vilcu: Optimal inequalities for the normalized delta-Casorati curvatures of submanifolds in Kenmotsu space forms, va aparea in Advances in Geometry.

Articole acceptate spre publicare in reviste indexate BDI

1. M. Parton, P. Piccinni, V. Vuletescu: Clifford systems in octonionic geometry, va aparea in Rend. Sem. Mat. Torino.

Articole trimise spre publicare

1. C. Gherghe, Harmonicity and spectral theory on Sasakian manifolds, preprint, 2013.

2. L. Ornea, M. Verbitsky: Hopf surfaces in locally conformally Kaehler manifolds with potential, preprint, 2016.

3. L. Ornea, M. Verbitsky, V. Vuletescu: Weighted Bott-Chern and Dolbeault cohomology for LCK-manifolds with potential, preprint, 2016.

Capitole in carti publicate in edituri din strainatate

1. G.E. Vilcu: Paraquaternionic CR-submanifolds, mixed 3-structures and semi- Riemannian submersions, Chapter 13 in: Geometry of Cauchy-Riemann Submanifolds, Editors: S. Dragomir, M. Hasan Shahid, F. R. Al-Solamy, Springer (2016), 361-390.

Paginā actualizatā pe 06 Decembrie 2016